प्रश्न- बहुलांक ज्ञात करने की विधियों का उल्लेख कीजिए।

उत्तर -

बहुलांक ज्ञात करने की विधियाँ - बहुलांक मान ज्ञात करने की सबसे सीधी विधि यह है कि यथा समूह के छात्रों के प्राप्तांकों को स्थिति क्रम अर्थात् न्यूनतम प्राप्तांक से अधिकतम प्राप्तांक की दिशा में व्यवस्थित किया जाये और फिर प्राप्तांकों की आवृत्ति देख ली जाए। अधिकतम आवृत्ति वाला प्राप्तांक ही बहुलांक मान होगा।

उदाहरण - 50 अंकों की एक परीक्षा में 10 छात्रों ने निम्नलिखित अंक प्राप्त किये हैं। बहुलांक निकालो।

40  11  17  18  8  17  24  37  18  17

प्राप्तांकों को स्थिति क्रम में लगाने पर

प्राप्तांक = 8 11 17 17 17 18 18 24 37 40

.. बहुलांक = 17

विशेष - कभी-कभी ऐसा होता है कि दो या दो से अधिक प्राप्तांकों की आवृत्तियाँ समान होती हैं, उस स्थिति में बहुलांक मान निकालने के निम्नलिखित नियम हैं -

(1) जिस समूह में समीप के दो प्राप्तांकों की आवृत्तियाँ सबसे अधिक और आपस में समान होती हैं उस समूह में इन दोनों प्राप्तांकों का औसत बहुलांक होता है।

उदाहरणार्थ-

8 11 17 17 17 19 19 19 24 और 37

बहुलांक

17+19 / 2 = 36 / 2 = 18

(2) जिस समूह में दो ऐसे प्राप्तांकों की आवृत्ति समूह में सबसे अधिक और आपस में बराबर होती है जो एक दूसरे के निकट नहीं होते तो ऐसे समूह में दोनों ही प्राप्तांक बहुलांक होते हैं। ऐसे समूहों को द्विबहुलांकी (Bi-Modal) कहा जाता है।

उदाहरणार्थ -

8 11 17 17 17 18 24 24 24 और 22 में

बहुलांक = 17 और 24 होंगे

(3) जिस समूह में अनेक अथवा सभी प्राप्तांकों की आवृत्तियाँ समान होती हैं, उस समूह में बहुलांक निकालने का प्रश्न ही नहीं उठता।

उदाहरणार्थ -

11 11 16 16 17 17 19 19 19 23 23

में कोई बहुलांक नहीं है।

अनुमानित बहुलांक निकालने की विधि - अनुमानित बहुलांक निकालने के लिए सबसे पहले आवृत्ति वितरण तालिका बनाते हैं। फिर जिस वर्ग में प्राप्तांकों की आवृत्तियाँ सबसे अधिक होती हैं, उसका मध्य बिन्दु ज्ञात करते हैं। यह मध्य बिन्दु ही उस समूह का अनुमानित बहुलांक होता है।

उदाहरण -

आवृत्ति वितरण तालिका को ध्यान से देखिए। इसमें प्राप्तांकों की सबसे अधिक आवृत्ति 50-59 वाले वर्ग में है।

.. अनुमानित बहुलांक = 50+59 / 2 = 109 / 2 = 54.5

सही बहुलांक निकालने की विधि - सही बहुलांक निकालने के लिए पहले मध्यमान निकाला जाता है, फिर मध्यांक और फिर मध्यांक के तीन गुने से मध्यमान का दो गुना घटा दिया जाता है। इसे सूत्र रूप में स प्रकार प्रकट किया जाता है -:

Mo = 3 x Mdn - 2x M

मध्यमान और मध्यांक निकालने की विधि हम बता ही चुके हैं। यहाँ उपर्युक्त तालिका को पूरी करके उनकी गणना कर बहुलांक निकाल रहे हैं-

आवृत्ति वितरण तालिका

बहुलांक निकालने के लिए अलग से भी सूत्र है जिसके द्वारा बिना मध्यमान तथा मध्यांक निकाले सीधा बहुलांक निकाला जा सकता है।-

टिप्पणी -

(1) जब केवल बहुलांक ही ज्ञात करना होता है तो उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करना ही अधिक उपयोगी रहता है क्योंकि पहली विधि में यदि किसी भूलवश मध्यमान या मध्यांक में से कोई एक गलत हो जाये तो बहुलांक स्वतः गलत हो जायेगा।

(2) इस आवृत्ति वितरण से अनुमानित बहुलांक 54.5 आया तथा प्रथम व द्वितीय विधि से शुद्ध बहुलांक क्रमशः 60.21 तथा 56.77 आया। यह अन्तर विभिन्न विधियों का प्रयोग करने के कारण हुआ। प्रायः शुद्ध बहुलांक ही निकालना अधिक उपयोगी रहता है।

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